"

ספר הטבע נכתב בשפת המתמטיקה", אמר גלילאו. הקורונה הציבה את האמת הזאת על שולחנם של מתמטיקאים בעולם כולו, ואלה התגייסו לפעולה לנוכח התפשטות המגפה.

בשנה האחרונה, מתמטיקאים היו מעורבים בשורה של גילויים הנוגעים לקורונה: עד כמה היא מידבקת, מה המרחק הבטוח שעלינו לשמור זה מזה, כמה זמן ממשיך הנשא להפיץ את הנגיף, כיצד זן ספציפי התפשט מאירופה לניו יורק וממנה לארצות הברית כולה, ואיך לשטח את העקומה ולהציל את חייהם של מאות אלפי אנשים. מודלים מתמטיים של התפשטות הם שסייעו לשכנע את המרכז האמריקאי לבקרת מחלות (CDC) שהנגיף מתפשט גם באוויר, באמצעות טיפות רסס שמוסיפות לרחף לעתים במשך שעות.

כעת ניצבת בפני המתמטיקאים שאלה בוערת ומאתגרת: מהי הדרך הנכונה ביותר לחסן את האוכלוסייה. שני חיסונים — זה של פייזר ו־BioNTech וזה של מודרנה — מציגים תוצאות מבטיחות מאוד ועשויים לקבל אישור חירום מזורז מה־FDA, מינהל התרופות והמזון האמריקאי. עוד כ־50 קבוצות מחקר מצויות כעת בשלב הניסויים הקליניים. וכיוון שבשלב הראשון אספקת החיסונים תהיה מוגבלת, ההחלטה מי יקבלו את המנות הראשונות תחרוץ את גורלם של עשרות אלפי אנשים בארצות הברית לבדה.

"ההחלטה כיצד להקצות את החיסונים לקבוצות האוכלוסייה הנכונות, בזמן הנכון, היא בעיה מורכבת מאוד", אומרת פרופ' אווה לי, מנהלת המרכז לחקר התפעול ברפואה של אוניברסיטת ג'ורג'יה טק, אחת מ־40 האוניברסיטאות הטובות בעולם. לי היא מומחית למידול (בניית מודלים מתמטיים) של אסטרטגיות הפצה של חיסוני שפעת, אבולה וזיקה, וכעת היא מתמקדת בקורונה. "זה וירוס כל כך מידבק, וקטלני הרבה יותר משפעת", היא אומרת. "אף וירוס אחר מעולם לא אתגר אותנו כך".

תחושה דומה מתאר גם פרופ' הווארד פורמן, מומחה לבריאות הציבור מאוניברסיטת ייל. "אנחנו נכנסים לתחום לא מוכר", הוא אומר, "הפעמים האחרונות שבהן השתמשנו בחיסון חדש לגמרי במסגרת תוכניות לחיסון המונים היו במקרים של האבעבועות השחורות והפוליו" (בשנות החמישים). כל החיסונים שפותחו בעשורים האחרונים נבדקו במשך שנים או הוכנסו לשימוש באופן מדורג ואיטי, הוא מוסיף.

עד כה המחקר בתחום הניב כמה תוצאות מפתיעות. כשמדובר בשפעת, למשל, ילדים מחוסנים ראשונים, במקרה של הקורונה בארצות הברית, אומרים מומחים, הצעירים־מאוד צריכים להיות בעדיפות נמוכה כיוון שעד כה המפיצים העיקריים הם "בוגרים צעירים" (בני 25-18). עם זאת, התמונה משתנה ממדינה למדינה: מחקר חדש מראה שבהודו, שם כמה דורות חיים יחד בצפיפות גדולה, הנגיף מופץ במידה רבה לא רק בידי בוגרים צעירים אלא גם בידי ילדים.

נוסף על כך, כמה מודלים מראים שאפשר להשיג התקדמות משמעותית בבלימת ההתפשטות אפילו עם פריסה חלקית של חיסון יעיל פחות. לי — שעם תחילת המגפה סיפקה הערכות מדויקות של מקורה, חומרתה ומסלולי הפצתה — מעריכה כעת כי ניו יורק תוכל לרסן את הקורונה אם 40% מתושביה יחוסנו, מפני שקצב ההתפשטות המקומי נמוך למדי (פחות מ־3% מהבדיקות החיוביות, נכון לאמצע נובמבר) וכ־20% מהאוכלוסייה כבר נדבקו. "ככל ששיעור האנשים שיש להם נוגדנים גבוה יותר, נקבל יותר תועלת באותה השקעה", מסביר לארימור, "כי אז נוכל לתעדף מתן חיסונים למי שאין להם נוגדנים".

כל הממצאים האלה חשובים, שכן "בסופו של דבר, לעולם לא יהיו די חיסונים לכלל האוכלוסייה", אומרת לי (מה גם שתמיד יהיו מי שלא יתחסנו). למעשה, ארגון הבריאות העולמי צפה לאחרונה כי בוגרים צעירים בריאים לא יקבלו חיסון עד 2022, אז יושלם חיסונם של הקשישים, עובדי שירותי הבריאות וקבוצות אחרות שבסיכון גבוה.

איך מכניסים כל כך הרבה אי־ודאות למשוואה אחת?

כדי למדל את הפצת החיסונים, על המתמטיקאים לבנות נוסחאות המשקפות את התזזיתיות של חיינו ואת האינטראקציות המורכבות שאנחנו מנהלים, אגב שימוש בנתונים כמו תנאי מגורים, מצב סוציו־אקונומי, הרגלים יומיומיים, גיל וסיכונים בריאותיים. אך ראשית הם קובעים עד כמה הנגיף מידבק — זהו מקדם ההדבקה (R).

כששיעור מסוים מהאוכלוסייה נהנה מחסינות — אם כתוצאה מהידבקות והחלמה או כתוצאה מקבלת חיסון  — מושגת "חסינות עדר". ואז, גם אם יתלקחו התפרצויות מקומיות, המגפה לא תהפוך שוב לגלובלית. במקרה של הקורונה, ארגון הבריאות העולמי מעריך כי בהתחשב במקדם ההדבקה של הנגיף, חסינות עדר תושג רק כאשר 65%-70% מהאוכלוסייה יהיו מחוסנים.

מידול של הפצת חיסונים מחייב אקרובטיקה מורכבת. לעומת המודלים המוכרים לשיטוח העקומה, שנוצרו בתוך שבועות אחדים, מודלים של הפצה ידרשו תכנון של חודשים רבים. המתמטיקאים שבונים את המודלים הללו ניצבים בפני אינספור אתגרים. ראשית, רוב החיסונים שנמצאים כעת בפיתוח, כולל אלה של פייזר ומודרנה, מורכבים משתי זריקות בהפרש של כמה שבועות, מה שמחייב רישום ומעקב שיבטיחו את השלמת החיסון. שנית, כפי ש"הניו יורק טיימס" דיווח בסוף ספטמבר, "חברות התרופות ייאלצו להעביר בקבוקוני זכוכית זעירים מרחק של אלפי קילומטרים, ועוד לשמור עליהם קרים כמו הקוטב בשיא החורף".

לתעדף לפי גיל? מקצוע? קשרים חברתיים?

כל הקשיים הללו עמדו בפני מאטרכט, המתמטיקאית ממרכז האצ'ינסון לחקר הסרטן, כשהחלה לעבוד עם עמיתיה על מודל להפצת חיסון, כבר באפריל. "היו לנו כל כך הרבה אי־ודאויות", היא מספרת. הקבוצה פיתחה אלגוריתמים המתבססים על 440 הצלבות של נתונים כגון הדבקה, חסינות, גיל ותמותה. זה מספר עצום למשימה כזאת, והמחשבים של החוקרים הריצו משוואות במשך כמעט 9,000 שעות. המודל שהם גיבשו, ושפורסם באוגוסט (עדיין ללא ביקורת עמיתים), מראה שאם בשלב ראשון קיים רק היצע מוגבל של מנות חיסון, ואם המטרה היא הפחתת שיעור התמותה, כדאי לתעדף את האוכלוסייה המבוגרת. אבל כשמדובר בחיסונים עם שיעור יעילות של 60% ויותר, ברגע שישנן מספיק מנות כדי לחסן לפחות מחצית מהאוכלוסייה, עדיף לחסן אנשים בריאים בני 50-20 וילדים. המודל גם מנבא כמה מקרי מוות יהיה אפשר למנוע בתרחישים שונים של כמות חיסונים: לדוגמה, אם 20% מהאוכלוסייה כבר נדבקו ופיתחו חסינות, חיסון של 35% משאר האוכלוסייה ימנע מחצית ממקרי התמותה (בהנחה שיעילות החיסון היא לפחות 50%).

במודל של מאטרכט ועמיתיה, חסינות העדר מושגת ברגע ש־60% מהאוכלוסייה חסינים — מעט פחות מהערכת ארגון הבריאות העולמי. "זה טבעי לחלוטין שמודלים שונים יציגו הערכות שונות", מסבירה מאטרכט.

"המודל הזה עושה עבודה טובה בבחינת מספר גדול של מקרים סבירים", אומר פרופ' מייקל ספרינגבורן, כלכלן מאוניברסיטת קליפורניה המתמחה בניהול משאבים וסביבה. ספרינגבורן בנה מודל משלו, עם עמיתו ד"ר ג'ף באקנר ועם פרופ' חררדו צ'ואל, אפידמיולוג ומתמטיקאי מאוניברסיטת ג'ורג'יה. גם המחקר שלהם התפרסם בינתיים כטיוטה, וגם הוא מראה שלחלוקה חכמה של מנות החיסון תהיה השפעה מרחיקת לכת על הפחתת שיעורי התמותה. לדברי ספרינגבורן, שני המודלים מראים שאפילו חיסון עם יעילות מוגבלת, שיינתן רק לחלק מהאוכלוסייה, "ירים תרומה משמעותית להפחתת שיעורי ההדבקה והתמותה".

המודל של אווה לי מג'ורג'יה טק נבנה באמצעות תוכנה שהיא פיתחה עם ה־CDC עוד ב־2003 כדי למדל אספקה רפואית בזמן אסונות טבע ומגפות. במקרה של הקורונה, הוא מראה כיצד אפשר להכיל את המחלה באזורים עם שיעורי הדבקה משתנים, בהנחה שהאספקה הראשונית של מנות החיסון תהיה מוגבלת מאוד. בעיר ניו יורק, שנפגעה קשות באביב האחרון, המודל של לי מראה שדרושה חסינות של 60% מהאוכלוסייה כדי לבלום את המגפה. בהנחה ש־20% מתושבי העיר כבר נדבקו, המשמעות היא שיש לחסן עוד 40%. לעומת זאת, כדי לבלום את המגפה בסן דייגו, שם שיעורי ההדבקה נמוכים יותר, צריך ש־65% מהאוכלוסייה יידבקו או יחוסנו. ביוסטון השיעור כבר מגיע ל־73% — שכן שם המגפה מתפשטת כ"צריבה איטית", ובעיר ישנן קהילות מיעוטים גדולות שנמצאות בסיכון גבוה יותר.

המספרים הללו אינם מייצגים שיעור חסינות שיאפשר לקיים אירועי ספורט עם קהל או הצגות בברודווי, מבהירה לי: אלה הם רק שיעורי החסינות שבהם, אם יישמרו ההנחיות הקיימות, יהיה אפשר לבלום את התפשטות המגפה, עד השגת מנות נוספות של החיסון.

הגיל גם מצטלב, בדרכים מורכבות, עם קישוריות חברתית באזורים שונים. למשל, הקורונה פגעה בקהילות שחורות ולטיניות בארצות הברית במידה לא פרופורציונלית, בין השאר בגלל השכיחות של מגורים משותפים של כמה דורות: כך, אנשים מבוגרים נחשפים הרבה יותר לבוגרים צעירים, שעלולים להיות הנשאים העיקריים של המחלה.

מידול של קישוריות חברתית כזו מחייב שרטוט של רשתות המייצגות את האופן שבו אנחנו חיים ונעים. ב־2008 מחקר פורץ דרך בנה רשת כזו, שנהפכה מאז לכלי מרכזי בקרב אפידמיולוגים. המחקר ההוא חילק את האוכלוסייה לקבוצות גיל, מלידה עד יותר מ־70, ויותר מ־7,000 משתתפים ניהלו יומנים של האינטראקציות שניהלו במשך יום אחד. הצטברו כמעט 98 אלף רישומי אינטראקציות, שסווגו לפי מיקומן (בית, בית ספר, עבודה, פנאי) ולפי אופיין (פיזי או לא פיזי, קצר או ארוך). המודל מצא כי כאשר פתוגן חדש מתפשט בקרב אוכלוסייה שאין לה חסינות, בני 19-5 הם המדביקים ביותר — אולי בשל האינטראקציות התכופות והפיזיות שלהם עם אחרים. המודל גם הראה לראשונה עד כמה עמוקה השפעתן של רשתות חברתיות על הפצת מחלות. כך, מסביר לארימור, "אם ילדים הם באמת הלב שסביבו נבנית החברה, באופן שחיסונם מאפשר לקרוע את רשתות ההפצה, זה מוביל לתעדוף שונה של הפצת החיסון".

ב־2017 המודל הזה הורחב באופן גלובלי, ובחן את שיעורי הקישוריות ב־152 מדינות שונות. "זה הבסיס שבו כולנו משתמשים, כי הוא הכלי הטוב ביותר שיש לנו כדי לזהות כיצד אנשים מנהלים אינטראקציות ביניהם", מסבירה מאטרכט, ששילבה את רשת הקשרים במודל שלה. הרשת של המחקר המקורי הסתמכה על רישום ביומנים. כיום יכולת איסוף המידע משוכללת בהרבה, בזכות איסוף נתונים בזמן אמת מטלפונים סלולריים ומפעילות באינטרנט.

באביב האחרון, ככל כשמדיניות הריחוק החברתי התרחבה בארצות הברית, היא הלכה ושינתה את נתוני מודל ההתפשטות האופייני, אומר ספרינגבורן. נתונים מהמרכז למדדי בריאות באוניברסיטת וושינגטון מוכיחים את כוחו של הריחוק החברתי בהפחתת ההפצה. "רשתות הקשרים במחקרים קודמים הן מעידן של טרום־מגפה", מסביר ספרינגבורן. "אנחנו יודעים ששיעורי האינטראקציות משתנים מאוד תחת ריחוק חברתי, ואנחנו רוצים להביא זאת בחשבון. אנחנו גם מצפים שהריחוק החברתי יתרכך ככל שמספר ההידבקויות ירד. זה טבע האדם: ככל שהסיכון יורד, כך גם ההתנהגות שמפחיתה את הסיכון". גם את זה יש למדל, וגם זה ישפיע על הציפיות מהחיסון. למעשה, טוענת לי, אם שיעור הציות לכללי הריחוק החברתי והשימוש במסכות היה עומד על 90%, היינו יכולים להכיל את הווירוס גם ללא חיסון.

במחקרם של ספרינגבורן, באקנר וצ'ואל, הריחוק החברתי ממודל על ידי חלוקה של עובדים חיוניים ולא־חיוניים לקבוצות גיל. עובדים חיוניים — למשל כאלה שעובדים בשירותי הבריאות, ברשתות המזון ובבתי הספר — מצויים בסיכון גבוה להידבק, מכיוון שעבודתם מקשה עליהם לנקוט ריחוק חברתי. המודל הזה מגלה כי כאשר עובדים חיוניים כאלה זוכים לקדימות בקבלת החיסון, מספר מקרי המוות מצטמצם דרמטית, ואיתו גם מספר שנות החיים שאבדו. מסקנת החוקרים היא כי אם המטרה היא הפחתת התמותה, יש לתעדף מתן חיסונים לעובדים חיוניים בגילאי 59-40.

לפי ספרינגבורן, המודל הזה מראה כי בהיעדר חיסון צפויים 179 אלף מקרי מוות בארצות הברית במחצית הראשונה של 2021 — אבל אפשר להוריד את המספר ל־88 אלף באמצעות חלוקה מדורגת של החיסון, שבמסגרתה יחוסנו מדי חודש 10% מהאוכלוסייה, בלי כל תעדוף. חלוקה מבוססת־תעדוף תוכל להפחית מכך עוד 7,000 עד 37 אלף מקרי מוות, תלוי בהתפתחויות.

ישנן עוד דרכים לחלץ את נתוני הקישוריות החברתית, מעבר לשימוש ביומנים ובנתונים מרשתות סלולר: מפקדי אוכלוסין ומסדי נתונים אחרים כוללים גילאים, מקצועות ומעמד סוציו־אקונומי, ולי כוללת אותם במודלים שלה. "מספרי המיקוד מספקים לנו מידע עצום", היא אומרת. מידע משירותי הבריאות על שכיחות המחלות ועל אשפוזים יכול לנפות מחלות אחרות שמהן סובלים חולי קורונה ולהציף פגיעוּת באזורים ספציפיים. אפילו מידע על תנאי הדיור בעיר, מגורדי שחקים ועד צמודי קרקע, יכול לספק אינדיקציות לשיעורי הצפיפות והאינטראקציות האנושיות. שימוש בנתונים כאלה יאפשר הפצת חיסונים שתהיה רגישה לתנאים המקומיים. לי אומרת שכדי למדל במדויק את ארצות הברית כולה, עליה למדל 500 ערים מייצגות ברחבי המדינה.